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Somme de nombres impairs " Démonstration par récurrence "

 

DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE

Problème

On considère la suite :
Sₙ = 1 + 2 + 3 + ... + (2n-1).
On veut démontrer par récurrence :
Sₙ = n² pour tout n ≥ 1.

1. Initialisation (rang n = 1)

Pour n = 1 :
S₁ = 1 et 1² = 1.
La formule donnée est donc vérifiée :
S₁ = n² = 1.
La propriété est vraie pour n = 1.

2. Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier k ≥ 1, c’est-à-dire :
Sₖ = k².

3. Hérédité (montrons la propriété pour n = k+1)

On a :
Sₖ₊₁ = Sₖ + (2(k+1) - 1).
En utilisant l’hypothèse de récurrence Sₖ = k², cela donne :
Sₖ₊₁ = k² + (2k + 2 - 1).
Simplifions :
Sₖ₊₁ = k² + 2k + 1.
Reconnaissons une identité remarquable :
Sₖ₊₁ = (k+1)².

4. Conclusion

La propriété est vraie pour k+1. Par le principe de récurrence, on conclut que la propriété est vraie pour tout n ≥ 1.

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