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Démontrer que 49^51 est plus grand que 50^50

Démonstration mathématique

Démonstration :

Comparer 4951 et 5050

Problème :

Démontrer que 4951 est plus grand que 5050.

Démonstration :

  1. Écriture sous forme de fraction :

    (5050) / (4951) = (5050) / ((4950) × (1 / 49)) = ((50 / 49)50) × (1 / 49).

  2. Réduction de (50 / 49) :

    ((50 / 49)50) × (1 / 49) = ((1 + 1 / 49)50) × (1 / 49).

  3. Lien avec la suite de Euler :

    On reconnaît ici la forme (1 + 1/n)n, qui converge vers e (environ 2.72) lorsque n tend vers l'infini.

    Ainsi :
    (1 + 1 / 49)49 × (1 + 1 / 49) × (1 / 49) ≈ e × (1 + 1 / 49) × (1 / 49),
    (1 + 1 / 49)50 × (1 + 1 / 49) × (1 / 49) ≈ e × 1.02 × 0.02 = 0.0554.

  4. Conclusion :

    La fraction (5050) / (4951) est donc bien inférieure à 1 (elle vaut environ 0.0554), ce qui prouve que :
    4951 > 5050.

Lien sur une vidéo YouTube expliquant le problème
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