Somme de fractions "Démonstration par récurrence"

 

Démonstration par récurrence

Problème

On considère la suite :
S_n = 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ⋯ + 1/(n*(n+1)).
On veut démontrer par récurrence que :
S_n = 1 - 1/(n+1), pour tout n ≥ 1.

Initialisation (rang n = 1)

Pour n = 1 :
S_1 = 1/(1*2) = 1/2.
D'après la formule donnée :
1 - 1/(n+1) = 1 - 1/(1+1) = 1 - 1/2 = 1/2.
La propriété est donc vraie au rang n = 1.

Hypothèse de récurrence

Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier k ≥ 1, c'est-à-dire :
S_k = 1 - 1/(k+1).

Hérédité (montrons la propriété pour n = k+1)

On a :
S_{k+1} = S_k + 1/((k+1)(k+2)).
En utilisant l'hypothèse de récurrence S_k = 1 - 1/(k+1), cela donne :
S_{k+1} = (1 - 1/(k+1)) + 1/((k+1)(k+2)).
Simplifions :
S_{k+1} = 1 - 1/(k+1) + 1/((k+1)(k+2)).
Mettons au même dénominateur les deux fractions :
S_{k+1} = 1 - (k+2)/((k+1)(k+2)) + 1/((k+1)(k+2)).
S_{k+1} = 1 - (k+2 - 1)/((k+1)(k+2)).
S_{k+1} = 1 - (k+1)/((k+1)(k+2)).
S_{k+1} = 1 - 1/(k+2).

Conclusion

La propriété est donc vraie pour k+1.
Par le principe de récurrence, on conclut que la propriété est vraie pour tout n ≥ 1.