Comprendre les Intérêts Simples et Composés : Analyse Mathématique et Exemples

Les intérêts simples sont les intérêts calculés sur un montant initial d’un capital invariable, tandis que les intérêts composés incluent le capital ainsi que les intérêts accumulés sur les intérêts précédents. Au niveau mathématique, ces deux concepts sont très différents.

Ici, nous allons explorer les formules, les démonstrations et les implications mathématiques de ces concepts.

La formule de l’intérêt simple s’énonce ainsi :

L=P⋅r⋅t

où :

• ( L ) est l’intérêt.
• ( P ) est le capital initial.
• ( r ) est le taux d’intérêt en pourcentage.
• ( t ) est la durée en années.

Cela revient à calculer plusieurs fois (

P⋅r

), c’est-à-dire :

(P⋅r)+(P⋅r)+⋯+(P⋅r)=P⋅r⋅t

Par exemple, si vous avez un capital de 100 \$ avec un taux d’intérêt de

10%

sur 3 ans, l’intérêt sera de :

100⋅0,10⋅3=30 $

On constate que le temps et les intérêts sont proportionnels, le total de la première année est simplement multiplié. Imaginons maintenant que vous placez un montant de 5 000 $ dans un compte d’épargne à intérêt simple de 1,3 %. On calcule ainsi les intérêts reçus sur 10 ans :

5,000⋅0,013⋅10=650 $

Pour les intérêts composés, la formule est :

A=P(1+rn)n⋅t

où :

• ( A ) est le montant total accumulé.
• ( P ) est le capital initial.
• ( r ) est le taux d’intérêt.
• ( n ) est le nombre de fois que l’intérêt est composé par an.
• ( t ) est la durée en années.

Supposons que ( r = 10% ) et ( n = 1 ) (intérêt simple) :

1+0,101=1,10

Ainsi, avec un intérêt simple, on obtient :

A=P⋅(1,10)3=1,33 (intérêt comL’intérêt composé suit une croissance exponentielle. Prenons un exemple d’intérêt composé : vous placez 3 000 $ à un taux annuel de 8% composé sur une période de 15 ans :

3,000(1+0,081)1⋅15=9,516,50 $

Vous placez 10 000 $ à un taux mensuel de 2,3 % sur 6 ans :

10,000(1+0,02312)12⋅6=11,478,24 $

Comparons maintenant les deux types d’intérêts avec un exemple simple :

• Intérêt simple :
  10⋅0,05⋅5=2,50
• Intérêt composé :
  10(1+0,051)1⋅5=12,76

La différence montre que l’intérêt composé génère 2,76 \$ d’intérêt de plus que l’intérêt simple pour les mêmes données. Il est donc très avantageux de placer de l’argent avec des intérêts composés et plus avantageux d’emprunter à intérêt simple.